Esta animação está relacionada com a distribuição de sementes em algumas flores como o girassol. Na flor do girassol, sementes vão surgindo do centro e, enquanto vão se afastando, vão rodando por um certo ângulo fixado.
Na animação espalhamos um certo número de bolinhas num círculo (as "sementes") espaçadas por um mesmo ângulo $ \theta $ e as afastamos do círculo para visualizá-las melhor. A distância da n-ésima bolinha à origem é $\sqrt{n}.$ Finalmente fazemos variar o ângulo $ \theta $ provocando o movimento da figura (isto pode ser acelerado usando o "slider" dado nos controles). Consideramos $ \theta $, em radianos, como sendo da forma $ \theta = x \cdot 2\pi $ onde $ x $ é um número real variando no intervalo $ [0,1] $. Quando $ x $ é racional, digamos $ x=p/q $ a figura tem exatamente $ q $ pernas. Por exemplo, quando $ x = 0.25 $ a figura tem exatamente $ 4 $ pernas (digite este valor no "input" dado nos controles). Quando $ x $ é irracional as figuras ficam mais complexas pois o número de pernas aumenta a medida que nos afastamos da origem. De fato, o número de pernas que vai aparecendo depende das aproximações racionais de $ x $. Por exemplo, para $ x= 1/\pi \approx 0.31830... $ o número de pernas é primeiro $ 3 $ e depois $ 22 $. Isso porque $ 1/\pi $ é bem aproximado por $ 1/3 $ e por $ 7/22 $. Voce pode observar isto digitando $0.31830$ no "input" dado nos controles.
A figura mais complexa acontece quando $ x $ é o número irracional $ \varphi = (1+\sqrt{5})/2 \approx 1.6180339... $. Ele é chamado de número aúreo ou proporção aúrea e pode ser considerado o mais irracional de todos os números irracionais, no sentido de que é o número real com as "piores aproximações" por números racionais.
Na verdade há dois números aúreos que são as raizes de $ x^2-x-1 $: $\quad \varphi_1 = {(1+\sqrt{5})\over 2}\,$ e $\, \varphi_2={(1-\sqrt{5})\over 2} $.
A primera raiz, que é positiva, é normalmente considerada a razão aúrea. Pode-se verificar fácilmente que $ \varphi_2 = -1/\varphi_1 = 1-\varphi_1 \approx -0.6180339. $
A razão aúrea aparece constantemente em ciências naturais, por exemplo, o formato da flor do girassol aparentemente usa um ângulo muito próximo da proporção aúrea (ver a página de Wikipedia) .
Indicamos este excelente vídeo, para aqueles que entendem inglês, sobre o assunto no canal de youtube Numberphile, que infelizmente não tem ainda legendas em português.